Question

已知双曲线C的渐近线为y=±x且过点M（，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

Answer

（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．则，解出即可．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，（1-3k2≠0）
由题意△＞0，化为m2+1＞3k2．（*），进而得到根与系数的关系，于是得到线段AB的中点M的坐标．由|AD|=|BD|，可得kAB•kMD=-1．
即，化为4m+1=3k2，代入（*）得m2+1＞4m+1，及3k2=4m+1≥0解出即可．
【解析】
（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
则，解得．
∴双曲线C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，（1-3k2≠0）
由题意△＞0，化为m2+1＞3k2．（*）
∴，．
设线段AB的中点为M（x，y），则，y=kx+m==．
∴M.．
∵|AD|=|BD|，∴kAB•kMD=-1．
∴，化为4m+1=3k2，代入（*）得m2+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k2=4m+1≥0，解得
∴m的取值范围是[-，0）∪（4，+∞）．