Question

已知双曲线C的渐近线为且过点M（1，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值．

Answer

（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为，进而得到，解出即可；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y可化为关于x的一元二次方程，可得△＞0及其根与系数的关系；由，可得，代入解出即可．
【解析】
（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为，
则，解得，
∴双曲线C的方程为3x2-y2=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为（3-a2）x2-2ax-2=0，（3-a2≠0）．
∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，∴△=4a2+8（3-a2）＞0，化为a2＜6．
∴，．（*）
∵，∴．
∴x1x2+y1y2=0，又y1=ax1+1，y2=ax2+1，
∴（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=0，
把（*）代入上式得，
化为a2=1．满足△＞0．
∴a=±1．