(1)连接AD1,D1C,证明∠D1AC为直线BC1与AC所成的角,即可求得结论;
(2)利用DD1⊥平面ABCD,可得∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角,利用正切函数可得结论;
(3)利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BD1D,再利用面面垂直的判定定理证明平面ACA1⊥平面BD1D.
(1)【解析】
连接AD1,D1C,则
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴四边形ABC1D1是平行四边形
∴A1D1∥DC1,
∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角,
∵△AD1C是等边三角形,
∴直线BC1与AC所成的角为60°;
(2)【解析】
∵DD1⊥平面ABCD,∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角,
在Rt△D1DB中,tan∠D1DB==
∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为;
(3)证明:∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD
∴DD1⊥AC
∵BD⊥AC,BD∩DD1=D
∴AC⊥平面BD1D
∵AC⊂平面ACA1,
∴平面ACA1⊥平面BD1D------(14分)