Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程y=3x+1
（1）若f′（-2）=0，求函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）若函数在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer

（1）由求导公式求出导函数，令导函数在1处的值为3，在-2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即为函数的增区间和减区间；
（3）将条件转化为：导函数大于等于0在[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
【解析】
（1）由题意得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵在x=1处的切线方程y=3x+1，∴切点为（1，4），
因此有：
，即，解得，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5，
（2）由（1）知，f′（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
由f′（x）=（x+2）（3x-2）＜0得，-2＜x，
由f′（x）=（x+2）（3x-2）＞0得，x＜-2或x＞，
∴f（x）的单调递增区间为：（-∞，-2），（，+∞），
单调递减区间为：（-2，），
（3）由（1）得，，即，
解得，∴f′（x）=3x2-bx+b，
∵函数在区间[-2，1]上单调递增，
∴f′（x）≥0在区间[-2，1]上恒成立，
①当x=≥1时，f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0，∴b≥6；
②当x=≤-2时，f′（x）的最小值为f′（-2）=12+2b+b≥0，∴b∈∅；
③当-2＜＜1时，f′（x）的最小值为f′（）=≥0，∴0≤b≤6，
综上得，b的取值范围是b≥0．