Question

设0＜α＜π＜β＜2π，向量．
（1）若，求α；
（2）若，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求证：．

Answer

（1）利用两个向量垂直的性质，求得tanα 的值，即可得到α的值．
（2）由题意可得 的坐标，再根据=求得sinβcosβ的值，根据β的范围，从而求得sinβ+cosβ的值．
【解析】
（1）若，则 =2cosα-2sinα=0，∴tanα=1．再由0＜α＜π＜β＜2π，可得α=．
（2）由题意可得 =（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ），
∴===，∴sinβcosβ=．
结合0＜α＜π＜β＜2π，可得β为第三象限角，故 sinβ+cosβ＜0．
∴sinβ+cosβ=-=-=-．
（3）若tanαtanβ=4，则有 ，∴sinαsinβ=4cosαcosβ，∴，
故与的坐标对应成比例，故．