Question

1、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，对于下列结论：
（1）BD₁⊥平面A₁DC₁；
（2）A₁C₁和AD₁所成角为45°；
（3）点A和点C₁在该正方体外接球表面上的球面距离为；
（4）E到平面ABC₁的距离为（E为A₁B₁中点）
其中正确的结论个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

（1）中根据线面垂直的判定定理可判，（2）中可由异面直线所成的角的定义进行判断；而（3）中由球面距离的求解即可得出答案；（4）E到平面ABC1的距离转化为B1到平面ABC1的距离求解即得．
【解析】
（1）中，由线面垂直的性质定理可知BD1⊥A1D，BD1⊥A1C1，从而根据线面垂直的判定定理得到BD1⊥平面A1DC1，故正确；
（2）中因为A1C1和AD1所成角等于AC和AD1所成角，为∠CAD1=60°，知不正确；
（3）中点A和点C1在该正方体外接球表面上是球的一条直径的两个端点，它们的球面距离是球的大圆周长的一半，球的半径为R=，它们的球面距离为，故正确；
（4）中E到平面ABC1的距离B1到平面ABC1的距离，为正方形BCC1B1对角线长的一半，即，故错．
其中正确的结论个数是2．
故选C．