Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a²+b²-c²）=3ab；
（1）求；         
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cosC中，化简即可求出cosC的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π-C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cosC的式子，把cosC的值代入即可求出值；
（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解析】
（1）∵a2+b2-c2=ab，
∴cosC==，
∵A+B=π-C，
∴===；
（2）∵a2+b2-c2=ab，且c=2，
∴a2+b2-4=ab，
又a2+b2≥2ab，
∴ab≥2ab-4，∴ab≤8，
∵cosC=，∴sinC===，
∴S△ABC=absinC≤，当且仅当a=b=2时，△ABC面积取最大值，最大值为．