Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+，且，当x＞时，f（x）＞0．
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer

（1）利用赋值法，确定，当，从而可得f（n+1）-f（n）=1，即{f（n）}是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列的求和公式，即可得到结论；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，设设x1＜x2，x1，x2∈R，f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1），利用条件即可证明．
【解析】
（1）令，则，∴，
则当，∴f（n+1）-f（n）=1，
∴{f（n）}是首项为，公差为1的等差数列．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
证明：设x1＜x2，x1，x2∈R，
f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=
=，
∵x2＞x1，∴，
由于当时，f（x）＞0，
∴，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上是增函数．