Question

函数f（x）=（0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{-}的项中仅-最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁=，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．证明：++…+＜．

Answer

（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．所以函数f（x）的反函数．由，得由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为，令x=0得．由此能求出λ的取值范围．
（3）．所以，由0＜xn＜1，知xn+1＞xn．．由此入手能够证明：++…+＜．
【解析】
（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函数f（x）的反函数．
则，得．∴是以2为首项，1为公差的等差数列，故．
（2）∵，∴，∴y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为，令x=0得．
∴．
∵仅当n=5时取得最小值，∴．
∴λ的取值范围为（9，11）．
（3）．
所以，又因0＜xn＜1，则xn+1＞xn．显然．
∴
∴=∵，
∴，∴∴．