Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1，再把2代入即可求a2的值；
（2）利用Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2，两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{bn}，直接利用点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，代入得数列{bn}是等差数列即可求通项；
（3）先把所求结论代入求出数列{cn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．
【解析】
（1）∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an-2∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2
a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4
（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，
又Sn-Sn-1=an，n≥2
∴an=2an-2an-1，
∵an≠0，
∴=2（n≥2），即数列{an}是等比数列，∵a1=2，∴an=2n
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，
（3）∵cn=（2n-1）2n
∴Tn=a1b1+a2b2+anbn=1×2+3×22+5×23++（2n-1）2n，
∴2Tn=1×22+3×23++（2n-3）2n+（2n-1）2n+1
因此：-Tn=1×2+（2×22+2×23++2×2n）-（2n-1）2n+1，
即：-Tn=1×2+（23+24++2n+1）-（2n-1）2n+1，
∴Tn=（2n-3）2n+1+6