Question

已知椭圆C的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），焦点到短轴端点的距离为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P是椭圆C上的一点，且在第一象限．若△PF₁F₂为直角三角形，试判断直线PF₁与圆O：x²+y²=的位置关系．

Answer

（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）①当∠PF2F1为直角时，求得直线PF1的方程，利用点到直线的距离公式即可判断出；
②当∠F1PF2为直角时，联立解出点P的坐标即可得到圆心到直线PF1的距离，即可判断出结论．
【解析】
（1）由题意可得a=2，c=5，
∴b2=a2-c2=15． 
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）圆O：x2+y2=的圆心为原点，半径r=．
①当∠PF2F1为直角时，点P的坐标为（5，）．  
直线PF1的方程为y=（x+5）．此时圆心到直线PF1的距离为＜．
∴直线PF1与圆O：x2+y2=相交． 
②当∠F1PF2为直角时，设点P的坐标为（x，y）．联立解得
∵点P的坐标为（4，3）．
则点P到椭圆右焦点（5，0）的距离为．
 利用三角形的中位线定理可得圆心O到直线PF1的距离为．
所以直线PF1与圆O：x2+y2=相切．