Question

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③
B．③④
C．②④
D．②③④

Answer

根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k为自变量，S△是变量k的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分k＞0和k＜0两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解．
【解析】
∵直线y=k（x-2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2-，0），B（0，3-2k）．
S△=×|2-|×|3-2k|=×．
当k＞0时，S△=×=×（4k+-12），
∵4k+≥2=12，当且仅当k=时取等号．
∴当S△=m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，S△=×=×=×[（-4k+）+12]，
∵-4k+≥2=12．当且仅当k=-时取等号．
当m＞12时，在k＜0时，k有两值．；
∴当 m=0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，∴①不正确；
当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，∴②正确；
当m=12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，∴③正确；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，∴④正确．
故选D