Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）求数列{an}的通项公式，设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求．
（II）若数列{bn}满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3…），由（I）知求数列{bn}的前n项和Sn要用分组求和的技巧．
【解析】
（I）设等比数列{an}的公比为q．
由a1a3=4可得a22=4，（1分）
因为an＞0，所以a2=2（2分）
依题意有a2+a4=2（a3+1），得2a3=a4=a3q（3分）
因为a3＞0，所以，q=2..（4分）
所以数列{an}通项为an=2n-1（6分）
（II）bn=an+1+log2an=2n+n-1（18分）
可得（12分）
=（13分）