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满分5
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高中数学试题
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已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an,(n=1,2,3,…...
已知数列{a
n
}满足:a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=n-a
n
,(n=1,2,3,…)
(I)求a
1
,a
2
,a
3
的值;
(Ⅱ)求证:数列{a
n
-1}是等比数列;
(Ⅲ)令b
n
=(2-n)(a
n
-1)(n=1,2,3…),如果对任意n∈N
*
,都有
,求实数t的取值范围.
(I)利用条件a1+a2+a3+…+an=n-an,n=1,2,3可求; (Ⅱ)再写一式a1+a2+a3++an+an+1=n+1-an+1与已知条件相减可得2an+1-an=1,即2an+1=an+1,从而有,所以可证数列{an-1}是等比数列; (Ⅲ)由(II)可得,进而可得数列{bn}的通项.考查其单调性,从而求得最大值,故可求实数t的取值范围. 【解析】 (I)..(3分) (II)由题可知:a1+a2+a3++an-1+an=n-an①a1+a2+a3++an+an+1=n+1-an+1② ②-①可得2an+1-an=1..(5分) 即:,又..(7分) 所以数列{an-1}是以为首项,以为公比的等比数列(8分) (Ⅲ)由(II)可得,(9分) (10分) 由可得n<3 由bn+1-bn<0可得n>3(11分) 所以b1<b2<b3=b4>b5>>bn> 故{bn}有最大值 所以,对任意n∈N*,有(12分) 如果对任意n∈N*,都有,即成立, 则,故有:,(13分) 解得或 所以,实数t的取值范围是(14分)
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考点分析:
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2
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n
}中,a
n
>0(n∈N
*
),且a
1
a
3
=4,a
3
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2
和a
4
的等差中项.
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n
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n
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n
=a
n+1
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2
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n
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n
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n
.
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,
.
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n
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n
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n
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3
=4,则b
4
=
;
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n
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n
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*
,则数列{b
m
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.
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.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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