Question

已知有穷数列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项a_i，a_j，将的值添在A的最后，然后删除a_i，a_j，这样得到一个n-1项的新数列A₁（约定：一个数也视作数列）．若A₁还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A₂，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作A_k．
（Ⅰ）设A：0，，…请写出A₁的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：-，-，-，-，，，，，，…求A₉的可能结果，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出A1的所有可能的结果；
（Ⅱ）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；
（Ⅲ）先定义运算：a⊙b=，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（Ⅱ）可知A9中仅有一项，再按定义先求出A5，综合即可得到A9的可能结果．
【解析】
（Ⅰ）直接按定义来操作，当取0，时代入计算可得：，；
当取0，时可得A1：，；
当取，时，可得A1：0，．
故有如下的三种可能结果：，；A1：，；A1：0，．…（3分）
（Ⅱ）因为对∀a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
0且
所以{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新数列仍是T数列．
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，
所以对T数列A每操作一次，项数就减少一项，
所以对n项的T数列A可进行（n-1）次操作（最后只剩下一项）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A9中仅有一项．
对于满足a，b∈{x|-1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a⊙b=，
下面证明这种运算满足交换律和结合律．
因为a⊙b=，且b⊙a=，所以a⊙b=b⊙a，即该运算满足交换律；
因为a⊙（b⊙c）=a⊙=
且（a⊙b）⊙c=c=
所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即该运算满足结合律．
所以A9中的项与实施的具体操作过程无关   …．…．（12分）
选择如下操作过程求A9：
由（Ⅰ）可知⊙=；
易知-⊙=0，-⊙=0，-⊙=0，-⊙=0；
所以A5：，0，0，0，0．；
易知A5经过4次操作后剩下一项为．
综上可知：A9：．…（14分）