Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且（n≥2，n∈N^*）．
（I）求a₂，a₃的值及数列{a_n}的通项公式；
（II）令，数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较与n的大小；
（III）令，数列的前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer

（I）代入n=2，n=3即可求得a2，a3的值；递推式两边同除以n得．利用累加法可得
，从而得an，注意检验n=1时的情形；
（II）先由（Ⅰ）求出bn，令f（n）=-n，通过作差可比较f（n+1）与f（n）的大小，从而得知f（n）的单调性，易比较n=1、2、3时f（n）与n的大小，结合其单调性可得结论；
（III）由（Ⅰ）易求cn，，对进行放大后裂项，则可用裂项相消法求得Tn，进而可得结论；
（I）【解析】
当n=2时，，
当n=3时，．
因为，所以．
当n≥2时，由累加法得，
因为a1=1，所以n≥2时，有，即．
又n=1时，，
故．
（II）【解析】
n∈N*时，，则．
记函数，
所以．
则0．
所以f（n+1）＜f（n）．
由于，此时；，
此时；，此时；
由于f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时．
综上所述，当n=1，2时，；当n≥3（n∈N*）时，．
（III）证明：对于，有．
当n≥2时，．
所以当n≥2时，．
且．
故对n∈N*，Tn＜2得证．