Question

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|
（1）求实数a，b间满足的等量关系式；
（2）求△OQP面积的最小值；
（3）求||PO|-|PQ||的最大值．

Answer

（1）连接OP、OQ，利用切线的性质可得PQ⊥OQ，再利用两点间的距离公式和勾股定理即可得出|PQ|2=|OP|2-r2=|PA|2；
（2）由于，所以要求△OQP面积的最小值，只要求出|PQ|的最小值即可．
由|PQ|====，利用二次函数的单调性即可得出；
（3）设O关于直线l：2x+y-3=0的对称点为O′（m，n），可得，即可解出m，n．利用||PO|-|PQ||=||PO′|-|PA||≤|O′A|即可得出．
【解析】
（1）连接OP、OQ，∵Q为切点，∴PQ⊥OQ，
∴|PQ|2=|OP|2-r2=|PA|2，
∴a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2，化为2a+b-3=0．
（2）∵，
∴要求△OQP面积的最小值，只要求出|PQ|的最小值即可．
∵|PQ|====，
当时，|PQ|min=．所求△OQP的面积最小值为．
（3）设O关于直线l：2x+y-3=0的对称点为O′（m，n），
则，解得．
∴||PO|-|PQ||=||PO′|-|PA||≤|O′A|==．
故||PO|-|PA||的最大值为．