Question

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，当n≥2时，
（1）求证为等差数列，并求a_n；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有T_n＜成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用当n≥2时，，可得，化简可得2=，从而可以证明为等差数列，并求出an；
（2）利用裂项法求和，即可得到结论；
（3）令T（x）=，则T（x）在[1，+∞）上是增函数，可得Tn＜，从而可得结论．
（1）证明：∵当n≥2时，
∴
∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=
∵a1=1，∴
∴是1为首项，2为公差的等差数列，
∴
∴
∴当n≥2时，an=
∵a1=1，
∴an=；
（2）bn==（），
∴Tn=[1-++…+）=；
（3）令T（x）=，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
当x≥1时，，∴Tn＜
令，则m≥10，
∴存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有Tn＜成立，m的最小值为10．