Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列 {b_n}中，b₁=1，点p（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n} 和 {b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n和为S_n，求++…+；
（Ⅲ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且c_n=a_n•b_n，求T_n．

Answer

（I）利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，可得数列{an}是等比数列；利用点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，可得数列{bn}是等差数列，由此可求数列{an} 和 {bn}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{}的通项，利用裂项法，可求++…+；
（Ⅲ）利用错位相减法，可求Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an-2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2），…（1分）
即an=2an-1，
∴数列{an}是等比数列．
∵a1=S1=2a1-2，∴a1=2
∴an=2n．                           …（3分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2，
即数列{bn}是等差数列，
又b1=1，∴bn=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）由题意可得，∴Sn=，…（6分）
∴=2（），…（7分）
∴++…+=2[（1-）+（）+…+（）]=．…（9分）
（Ⅲ）∵…（10分）
∵…（11分）
两式相减得：
=-6-（2n-3）2n+1…（13分）
∴…（14分）