Question

已知点A（-1，-1）．若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线．给定下列三条曲线：
①y=-x+3（0≤x≤3）；  
②；  
③．
其中，Γ型曲线的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

①点在线外，所以可以判断．②把给定的曲线方程变形，得到曲线曲线形状，知点A不在曲线上，通过分析进行判断．
③利用数形结合的思想判断．
【解析】
①因为点A不在直线y=-x+3上，直线与坐标轴的交点坐标为M（0，3），N（3，0），此时|MN|=，|AM|=，|AN|=．因为|AM|＜|MN|，所以存在两点B，C，使△ABC为正三角形，所以①是Γ型曲线．
②，图形是第三象限内的四分之一圆弧，曲线线与坐标轴的交点坐标为M（0，），N（-，0），此时弧长MN=，最长的弦长为MN=2，|AM|=，|AN|=，如图可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是Γ型曲线．
③利用数形结合思想，以A为圆心，做一个顶角是60°，由图象可知当圆与曲线相交时，则存在B、C，使使△ABC为正三角形，所以③为Γ型曲线．
故选C．