Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AA₁=a，AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=．

（Ⅰ）在正视图右边及下方区域画出其侧视图、俯视图（在答卷上作答）
（II）证明：PD⊥平面PBC；
（III）证明：当a=2时，PC∥平面AB₁D．

Answer

（I）利用长对正，宽相等，高平齐，即可得到侧视图、俯视图；
（II）证明PD⊥PC，PD⊥PC，利用线面垂直的判定定理，即可得到结论；
（III）证明PC∥C1D，利用线面平行的判定定理，可得结论．
（I）【解析】
如图所示；
（II）证明：
因为，
CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（5分）
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，
所以BC⊥面CC1D1D，（6分）
而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以PD⊥PC．  …（7分）
又PC和BC为平面PBC内的两条相交直线，（8分）
所以PD⊥平面PBC．                                    …（9分）
（III）【解析】
长方体中AD∥BC，AD=BC，BC∥B1C1，BC=B1C1，
∴AD∥B1C1，AD=B1C1
∴A，D，B1，C1共面 …（10分）
长方体中DD1=AA1=a=2，CD=AB=2，四边形CC1D1D是一个正方形，∠C1DC=45°，
而∠PCD=45°，且CD、C1D与PC在同一个平面内，…（11分）
所以PC∥C1D．                                         …（12分）
又C1D⊂面AB1C1D，PC⊄面AB1C1D…（13分）
所以PC∥面AB1C1D，即PC∥平面AB1D．                   …（14分）