Question

已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C₁上，
（1）求C₁和C₂的方程．
（2）有哪几条直线与C₁和C₂都相切？（求出公切线方程）

Answer

（1）联立抛物线C1的方程椭圆C2的方程，求出M，N的坐标，求出△QMN的重心坐标，代入抛物线C1，即可求得C1和C2的方程；
（2）设直线y=kx+m与C1和C2都相切，分别联立方程，利用判别式，即可得到结论．
【解析】
（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），
所以c2+b×0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2，a2=2b2，
所以椭圆C2的方程为：，
联立抛物线C1的方程x2+by=b2得：2y2-by-b2=0，
解得：y=或y=b（舍去），所以x=
即M（-），N（），所以△QMN的重心坐标为（1，0）．
因为重心在C1上，所以12+b×0=b2，得b=1．
所以a2=2．
所以抛物线C1的方程为：x2+y=1，
椭圆C2的方程为：+y2=1；
（2）因为抛物线C1：x2+y=1开口向下且关于y轴对称，所以与x轴垂直的直线都不是其切线．
所以可设直线y=kx+m与C1和C2都相切，
则由有相等实根                       

又，∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0有相等实根
∴
∴8（m-1）-m2+1=0
∴m=1或m=7
m=1时，k=0，切线方程为y=1
m=7时，k=±，切线方程为
∴有3条直线与C1和C2都相切．