Question

已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．

Answer

（1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知2x2+bx+c=0的两根为0，5，从而可求b、c的值，进而可求f（x）的解析式；
（2）要使对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max≤2-t即可，从而可求t的范围．
【解析】
（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
∴2x2+bx+c=0的两根为0，5
∴
∴b=-10，c=0
∴f（x）=2x2-10x；
（2）要使对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max≤2-t即可
∵f（x）=2x2-10x=2，x∈[-1，1]，
∴f（x）max=f（-1）=12
∴12≤2-t
∴t≤-10