Question

为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3-（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额-生产成本-技术改革费用）；
（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．

Answer

（1）首先根据题意令m=0代入x=3- 求出常量k，这样就得出了x与m的关系式，然后根据2010年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2010的件数就可以得出2010年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件产品的销售价格，然后用每件的销售单价×销售数量得到总销售额．最后利用利润=销售金额-生产成本-技术改革费用得出利润y的关系式．
（2）根据基本不等式，求出y的最大值时m的取值即可．
【解析】
（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3-k，∴k=2，∴x=3-
∴每件产品的销售价格为1.5×（元），
∴2010年的利润y=x•（1.5×）-（8+16x）-m=28-m-（m≥0）；
（2）∵m≥0，∴y=28-m-28-m-=29-[（m+1）+]≤=21
当且仅当m+1=，即m=3时，ymax=21．
∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．