Question

已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF₁的垂直平分线过点F₂，则离心率的范围是    ．

Answer

设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据 线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，求出 m2 的解析式，再利用 m2≥0，得到3e4+2e2-1≥0，求得 e 的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．
【解析】
由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点
K（， ），∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，∴•=-1，
∴m2=-（+c）•（）≥0，∴a4-2a2c2-3 c4≤0，
∴3e4+2e2-1≥0，∴e2≥，或 e2≤-1（舍去），∴e≥．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故  ≤e＜1，故答案为[，1）．