Question

已知数列{a_n}  和 {b_n}中，a₁=t（t＞0），a₂=t²．当x=时，函数f（x）=-（a_n-a_n+1）x（n≥2）取得极值．
（1）求数列{a_n} 的通项公式．
（2）若点P_n（1，b_n）．过函数g（x）=ln（1+x²）图象上的点（a_n，g（a_n））的切线始终与OP_n平行（O是坐标原点）．求证：当＜t＜2时，不等式对任意n∈N^*都成立．

Answer

（1）利用函数极值的定义，探求数列{an} 相邻两项之间的关系，进行变形，整理，确定出相关数列为特殊数列，从而达到求解的目的；
（2）利用导数的几何意义，求出bn，利用放缩法将转化，使之进一步作为桥梁沟通与的联系．
【解析】
（1）f′（x）=（an-1-an）x2-（an-an+1）
当x=时，函数f（x）取得极值，则f′（）=0，
代入整理得，an+1-an=t（an-an-1）  （n≥2）
又t＞0，∴数列{an+1-an}是首项为 a2-a1=t2-t，公比为t的等比数列．
∴an+1-an=（t2-t）•tn-1=tn+1-tn
当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（tn-tn-1）+（tn-1-tn-2）+…+（t2-t1）+t=tn
当t=1时符合，∴数列{an} 的通项公式an=tn．
（2）g′（x）=[ln（1+x2）]′=
过函数g（x）图象上的点（an，g（an））的切线的斜率k1=g′（an）==bn．
∴=
因为 ＜t＜2，所以（2t）n＞1，tn＜2n．
则（2n+2-n）-（tn+t-n）=（2n-tn）[（2t）n-1]＞0，
有 ＜（2n+2-n），
故 ++…+＜[（2+）+（22+）+…+（2n+）]=2n-（1+），
∵1+＞2
∴++…+＜2n-=2n-即证．