Question

已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer

（1）由题意双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点，可先根据离心率得出a，b的关系，设出双曲线的方程，代入点，求出a，b的值，即可写出双曲线的标准方程；
（2）观察直线，发现这是一个直线系，将其化为k（x-3）-y+m=0，求出直线系过的定点，又此点在双曲线上，将其代入双曲线的标准方程可以求得m的值，由于本题要求证明两直线垂直，故可以求出两直线的斜率，验证其斜率的乘积为-1，从而证明出两直线垂直的关系．
【解析】
（1）∵，∴，∴c2=2a2=a2+b2，∴a=b，
∴设双曲线方程为x2-y2=a2（a＞0），∵双曲线经过，∴16-10=a2即a2=6，
∴所求双曲线方程为．----------（4分）
（2）∵直线系方程可化为k（x-3）-y+m=0
∴直线系过定点M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在双曲线上，∴9-m2=6，，∴m2=3
又双曲线焦点坐标为，
∴-----------（7分）
∴∴F1M⊥F2M----------（10分）