Question

一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第4件工艺品所用的宝石数为    颗；第n件工艺品所用的宝石数为    颗 （结果用含n的式子表示）．

Answer

分析题目中已经给出的4个图形，设第一件宝石数a1=6，第n-1件工艺品所用的宝石数an-1，第n件工艺品所用的宝石数an，由题意知an-an-1=5+4（n-1），将题目中求第n值工艺品所用的宝石数问题转化为数列问题，根据求数列通项公式的方法不难给出答案．
【解析】
设第一件宝石数a1=6，
第n-1件工艺品所用的宝石数an-1，
第n件工艺品所用的宝石数an，
则an-an-1=5+4（n-1），
∴an-1-an-2=5+4（n-2），
…
a3-a2=5+4×2
a2-a1=5+4×1
则：an-a1=5×（n-1）+4[1+2+…+（n-1）]=2n2+3n-5
又∵a1=6，
∴an=2n2+3n+1
当n=4时，a4=45
故答案为：66，2n2+3n+1