Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S_n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知条件可得 2an+1 +Sn -2=0，可得n≥2时，2an+sn-1-2=0，相减可得=  （n≥2）．由此可得{an}是首项为1，公比为的等比数列，由此求得数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）先求出sn=2-，若数列{Sn+λ•n+}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．
【解析】
（Ⅰ）∵点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上，∴2an+1 +Sn -2=0． ①
n≥2时，2an+sn-1-2=0．       ②
①─②得 2an+1 -2an+an=0，∴=  （n≥2）．
再由a1=1，可得 a2=．
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴an =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得  sn==2-．
若数列{Sn+λ•n+}为等差数列，
则 s1+λ+，s2+2λ+，s3+3λ+ 成等差数列，
∴2（s2+2λ+）=（s1+λ+）+（s3+3λ+），解得 λ=2．                  
又λ=2时，Sn+λ•n+=2n+2，显然 {2n+2}成等差数列，
故存在实数λ=2，使得数列 {Sn+λ•n+}成等差数列．