Question

已知直线y=-x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆方程；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的长；
（3）若椭圆的离心率，向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），求椭圆的长轴的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆的离心率为，焦距为2，建立方程，求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式，可求线段AB的长；
（3）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合椭圆的离心率，向量与向量互相垂直，即可求得椭圆的长轴的取值范围．
【解析】
（1）∵，∴
∴椭圆的方程为…（3分）
（2）联立消去y得：5x2-6x-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则
∴…（8分）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵，∴
由消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0整理得a2+b2＞1（*）
又，，
∴x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=2x1x2-（x1+x2）+1=0
∴整理得：a2+b2-2a2b2=0
∴b2=a2-c2=a2-a2e2
代入上式得∴
∵
∴满足（*）式，
∴…（14分）