Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，若是公差为d的等差数列，则{a_n}为等差数列时d=    ．

Answer

由是=1为首项，d为公差的等差数列，知Sn=an+（n-1）dan，故Sn-1=an-1+（n-2）dan-1．所以an=an+（n-1）dan-an-1-（n-2）dan-1，整理可得（n-1）dan-（n-1）dan-1=（1-d）an-1，由此入手，能够求出d．
【解析】
∵是=1为首项，d为公差的等差数列，
∴=1+（n-1）d，
∴Sn=an+（n-1）dan，①
Sn-1=an-1+（n-2）dan-1．②
①-②得：
an=an+（n-1）dan-an-1-（n-2）dan-1，
整理可得
（n-1）dan-（n-1）dan-1=（1-d）an-1，
假设d=0，那么，
S1=a1，S2=a1+a2=a2，
∴a1=0，∵a1为除数，不能为0，∴d≠0．
在此假设an的公差为d′，
所以有d′=，
当d=1时，d′=0，an是以a1为首项，0为公差的等差数列．
当d≠1时，an-1=（n-1），
an-an-1==d′，
∴d=，
此时，an是以d′为首项，d′为公差的等差数列．
综上所述，d=1，或d=．
故答案为：1或．