Question

如图四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，Q为PA的中点．
求证：（1）PC∥平面QBD；
（2）平面QBD⊥平面PAC．

Answer

（1）欲证PC∥平面QBD，根据线面平行的判定定理可知只需在平面QBD内找一直线与之平行，设AC∩BD=O，连OQ，易证OQ∥PC；
（2）欲证平面QBD⊥平面PAC，根据线面垂直的判定定理可知只需证BD⊥平面PAC，而易证BD⊥AC与PA⊥BD．
证：设AC∩BD=O，连OQ．
（1）∵ABCD为菱形，∴O为AC中点，又Q为PA中点．
∴OQ∥PC （5分）
又PC⊄平面QBD，OQ⊂平面QBD，
∴PC∥平面QBD （7分）
（2）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，（9分）
又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD （12分）
又PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC又BD⊂平面QBD
∴平面QBD⊥平面PAC （14分）