Question

设函数R），函数f（x）的导数记为f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）；
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n，使得？说明理由．

Answer

（1）求出f'（x）=x2+ax+b，由 a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求出a=-1，b=c=-3．
（2）根据，F（1）和 F（2）都小于，且F（1）+F（2）=0，当n≥3时，F（n）＜
 （ ），用放缩法证明F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜…+＜．
（3）根据 f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）=（α-1）（2-α）（β-1）（2-β ）≤=，可得，或，故存在n=1或2，
使．
【解析】
（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=-1，b=c=-3．…（4分）
（2），
当n=1时，；当n=2时，；
当n≥3时，．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+
=（1++--- ）＜ （1++ ）=，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）．…（9分）
（3）根据题设，可令f'（x）=（x-α）（x-β）．
∴f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=，
∴，或，所以存在n=1或2，使．…（13分）．