Question

点P是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆=1和圆=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值是    ．

Answer

先求出双曲线的两个焦点，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，利用双曲线的定义分别求得|PM|和|PN|，进而可求得此时|PM|-|PN|的值．
【解析】
双曲线中，如图：
∵a=2，b=1，c==，
∴F1（-，0），F2（，0），
∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，…①
∵|PN|≥|PF2|-|NF2|，
可得-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，…②
∴①②相加，得
|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|
=（|PF1|-|PF2|）+|MF1|+|NF2|
∵|PF1|-|PF2|=2a=2，|MF1|=|NF2|=1
∴|PM|-|PN|≤2+1+1=2+2
故答案为：2+2