Question

若椭圆（m＞9）与双曲线（n＞0）有相同的焦点F₁、F₂，P是两曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是．

Answer

由题意可得 m-9=n+9，不妨设点P是位于第一象限内的点，再由椭圆和双曲线的定义可得 PF1+PT2=2，PF1-PT2=2．解得PF1 和PF2 的值，以及焦距F1F2 的值，可得 =+，故有 PF1⊥PF2．由此求得△F1PF2的面积是 PF1•PF2=（m-n）的值．
【解析】
由题意可得 m-9=n+9，故m=n+18．
不妨设点P是位于第一象限内的点，再由椭圆和双曲线的定义可得 PF1+PT2=2，PF1-PT2=2．
解得PF1=+，PF2=-，∴+=2m+2n=4n+36．
由于焦距F1F2=2，∴=4n+36=+，∴PF1⊥PF2．
故△F1PF2的面积是 PF1•PF2=（m-n）=9．