Question

一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．

Answer

首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．
【解析】
若椭圆、双曲线的焦点在x轴上，则设椭圆、双曲线的标准方程分别为、，
由题意得
解得a1=7，a2=3，b1=6，b2=2，
所以焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和；
同理焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和．