Question

已知椭圆的中心在坐标原点，两个顶点在直线x+2y-4=0上，F₁是椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P是椭圆上的一个动点，求线段PF₁的中点M的轨迹方程；
（3）若直线l：y=x+m与椭圆交于点A，B两点，求△ABO面积S的最大值及此时直线l的方程．

Answer

（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．由两个顶点在直线x+2y-4=0上，故分别令x=0，y=0，可得a，b．
（2）由（1）可得：，．设线段PF1的中点M（x，y），则P（，2y）．由点P是椭圆上的一个动点，代入椭圆方程即可．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得到关于x的一元二次方程，由题意可得△＞0，及根与系数的关系，即可得到|AB|=．再利用点到直线的距离公式可得点O到直线l的距离d=．即可得到S△OAB==，两边平方，再利用基本不等式即可得出其最大值，进而得到直线l的方程．
【解析】
（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．
∵两个顶点在直线x+2y-4=0上，∴分别令x=0，可得b=y=2；令y=0，可得a=x=4．
∴椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可得：．
∴．
设线段PF1的中点M（x，y），则P（，2y）．
∵点P是椭圆上的一个动点，∴．
化为．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得到5x2-8mx+4m2-16=0．
∵直线l：y=x+m与椭圆交于点A，B两点，∴△＞0，即m2＜20．（*）
∴，．
∴|AB|===．
又点O到直线l的距离d=．
∴S△OAB==，
∴=80，当且仅当m2=10时取等号，满足（*）．
∴．
∴△ABO面积S的最大值为．
此时直线l的方程为．