设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点）...

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（1，0）的距离比点P到直线x=-2的距离小1，过点M的直线l与点P的轨迹方程交于A、B两点．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
（III）求证：S_△OAB=S_△OAM•|BM|．

（I）利用抛物线的定义，即可得到点P的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入抛物线方程，验证=0是否成立即可；（III）S△OAB=，S△OAM•|BM|=，化简可结论．（Ⅰ）【解析】 ∵点P到定点M（1，0）的距离比点P（x，y）（x≥0）到直线x=-2的距离小1， ∴由抛物线的定义，可得点P的轨迹方程为y2=4x；（Ⅱ）【解析】当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=1，与抛物线方程联立，可得A（1，2），B（1，-2），不满足=0；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=，x1x2=1 ∴y1y2=-4，∴x1x2+y1y2=-3≠0，不满足=0 ∴不存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点；（III）证明：∵S△OAB=== S△OAM•|BM|=== ∴S△OAB=S△OAM•|BM|．

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考点分析：

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