Question

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点（异于原点）．
（1）证明：=；
（2）当a=2p时，求证：OM⊥ON．

Answer

（1）写出直线的截距式方程，与抛物线方程联立消去x可得y的二次方程，把等式左侧同分后将韦达定理代入即可证明；
（2）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=．代入韦达定理可证明k1k2=-1，从而证明结论；
证明：（1）直线的截距式方程为与y2=2px联立消去x可得by2+2pay-2pab=0．①
点M、N的纵坐标y1、y2为①的两个根，故y1+y2=，y1y2=-2pa．
所以===．
（2）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
则k1=，k2=．
当a=2p时，由（2）知，y1y2=-2pa=-4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2===4p2，
因此k1k2===-1．
所以OM⊥ON．