Question

已知椭圆G：+y²=1，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A、B两点．
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）当m变化时，求S_△OAB的最大值．

Answer

（1）根据椭圆方程，即可求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）由题意知，|m|≥1，分类讨论：当m=±1时，|AB|=；当|m|＞1时，设l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及l与圆x2+y2=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，从而可得结论．
【解析】
（1）椭圆G：+y2=1中，a=2，b=1，∴=
∴椭圆G的焦点坐标为（，0），离心率；
（2）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∵l与圆x2+y2=1相切，∴=1，即m2k2=k2+1
∴|AB|=×==≤2（当且仅当m=±时取等号）
∴|AB|的最大值为2，
∴S△OAB的最大值为=1