Question

设一次函数f（x）=ax+b，其中a，b为实数，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若f₅（x）=32x+31，则f₂₀₀₈（-1）=    ．

Answer

根据题意分别推出f2（x），f3（x），f4（x）及f5（x）的解析式，又f5（x）=32x+31，根据两多项式相等时，系数对应相等，即可列出关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值，然后利用函数fn+1（x）=f（fn（x））得出函数的取值的规律去求值．
【解析】
因为f（x）=ax+b，fn+1（x）=f（fn（x）），所以f1（x）=f（x）=ax+b，f2（x）=f（f1（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，
f（f3（x））=f（f2（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a3x+a2b+ab+b，
同理f4（x）=f（f3（x））=a4x+a3b+a2b+ab+b，
则f5（x）=f（f4（x））=a5x+a4b+a3b+a2b+ab+b=32x+31，
即a5=32①，a4b+a3b+a2b+ab+b=31②，解得a=2，b=1，
所以f（x）=2x+1，则f1（-1）=-1，f2（-1）=-1，…fn（-1）=-1．
所以f2008（-1）=-1．
故答案为：-1．