Question

已知点列M₁（x₁，1），M₂（x₂，2），…，M_n（x_n，n），且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数．设x₁=1，求数列{x_n}的通项公式，并求其前n项和S_n．

Answer

利用与向量垂直，可得，从而可得，利用叠加法，确定数列的通项，分类讨论，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可得到结论．
【解析】
由题意得：…（2分）
∵与向量垂直，
∴
∴
∵c≠0
∴  …（4分）
∴xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=cn-1+cn-2+…+c+1…（6分）
当c=1时，xn=n，此时，Sn=1+2+…+n=  …（8分）
当c≠1时，xn=cn-1+cn-2+…+c+1=      …（10分）
此时，Sn==
=…（12分）