Question

△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin²A-cos²A=，比较b+c与2a的大小．

Answer

解法一：利用sin2A-cos2A=，求出A，分类讨论，利用正弦定理，化边为角，即可得到结论；
解法二：利用sin2A-cos2A=，求出A，分类讨论，利用余弦定理，化角为边，即可得到结论．
（解法一）由题设得，又0＜2A＜2π，所以或，
所以或…（4分）
（1）当时，设
则由正弦定理得，
所以b+c≤2a（时取等号）                   …（8分）
（2）当设
则由正弦定理得，
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）
（解法二）由题设得，又0＜2A＜2π，所以或
所以或…（4分）
（1）当时，由余弦定理得a2=b2+c2-ac，
因为4a2-（b+c）2=4（b2+c2-bc）-（b2+c2+2bc）=3（b-c）2≥0
所以b+c≤2a（当a=b=c时取等号）                      …（8分）
（2）当由余弦定理得a2=b2+c2+ac
因为4a2-（b+c）2=4（b2+c2+bc）-（b2+c2+2bc）=3b2+3c2+2bc＞0
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）