Question

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P₁是线段AB的中点．
（Ⅰ）求a₁，b₁的值；
（Ⅱ）点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共线？证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一个{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数的图象上．

Answer

（Ⅰ）P1是线段AB的中点，，且不共线，由平面向量基本定理，能求出a1，b1的值．
（Ⅱ） 由，设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立；若d=0，则，所以P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线上．由此能求出当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不共线． 
（Ⅲ）设Pn（an，bn）都在指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，则．令n=1，则，于是，有唯一解．由此能够得到当对于给定的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在指数函数的图象上．
【解析】
（Ⅰ）P1是线段AB的中点…（1分）
又，且不共线，
由平面向量基本定理，知：…（3分）
（Ⅱ） 由
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立； （4分）
若d=0，则，⇒P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线上；           …（5分）
若q=1，则为常数列，⇒P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线上；             …（6分）
若d≠0且q≠1，P1，P2，P3，…，Pn，…共线⇔=（an-an-1，bn-bn-1）与共线（n＞1，n∈N*）⇔（an-an-1）（bn+1-bn）-（an+1-an）（bn-bn-1）=0⇔d（bn+1-bn）-d（bn-bn-1）=0⇔（bn+1-bn）=（bn-bn-1）⇔q=1与q≠1矛盾，
∴当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不共线．      …（9分）
（Ⅲ）设Pn（an，bn）都在指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，则（10分）
令n=1，则，…（11分）
于是，有唯一解，…（13分）
由于d≠0，⇒q≠1，从而满足条件“P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同”．
∴当对于给定的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，
使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在指数函数的图象上．…（14分）