(Ⅰ)利用即可得出;
(Ⅱ)解法一:通过构造函数,利用函数的单调性即可得出;
解法二:先计算前几项,猜想出结论,利用数学归纳法即可证明;
(Ⅲ))解法一:当n≥4时,可证:n4>16n(n-1),再利用裂项求和即可证明;
解法二:n≥2时,,再利用裂项求和即可证明.
【解析】
(Ⅰ)由已知:对于n∈N*,总有①成立
∴②
①-②得
∴an+an-1=(an+an-1)(an-an-1)∵an,an-1均为正数,∴an-an-1=1(n≥2),
∴数列{an}是公差为1的等差数列,又n=1时,,解得a1=1.
∴an=n.
(Ⅱ)解法一:由已知cn>0,,
⇒,同理,,.
易得 c1<c2,c2>c3>c4>…猜想n≥2时,{cn}是递减数列.
令
∵当x≥3时,lnx>1,则1-lnx<0,即f'(x)<0.
∴在[3,+∞)内f(x)为单调递减函数.
由.
∴n≥2时,{lncn}是递减数列.即{cn}是递减数列.
又c1<c2,∴数列{cn}中的最大项为.
解法二:猜测数列{cn}中的最大项为.c1<c2>c3易直接验证;
以下用数学归纳法证明n≥3时,nn+1>(n+1)n
(1)当n=3时,nn+1=81>64=(n+1)n,所以n=3时不等式成立;
(2)假设n=k(k≥3)时不等式成立,即kk+1>(k+1)k,即,
当n=k+1时,,
所以(k+1)k+2>(k+2)k+1,即n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)知nn+1>(n+1)n对一切不小于3的正整数都成立.
(3)解法一:当n≥4时,由基本不等式的性质可得,
当时,取前一个等号,显然取不到,因此:n3+16>16n,∴n4>16n(n-1).
解法二:n≥2时,,