Question

已知数列{a_n}各项均为正数，并且a₁=a（0＜a＜1），，求证：
（1）若0＜a_n＜1，则0＜a_n+1＜；
（2）；
（3）．

Answer

（1）构造函数，利用函数在（0，1）的单调性证明数列．
（2）将条件），，取倒数，构造新的等差数列，利用构造的数列求通项公式．
（3）利用放缩法证明不等式．
【解析】
（1）因为 所以，函数（0＜x＜1）是增函数，
由已知，0＜an＜1  所以．
（2）因为，所以，即数列{}是首项为，公差为1的等差数列
所以，所以．
（3）由已知，（∵0＜a＜1）
所以=．
所以不等式成立．