Question

已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．

Answer

（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式及a2=b2+c2，即可．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x-1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明kBM-kQB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．
【解析】
（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．
由题意可得，解得．
∴椭圆E的标准方程为．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x-1．
联立．消去x得到（3m2+4）y2+6my-9=0．
∴，．
直线AP的方程为，令x=4，得到y=，∴M．
直线AQ的方程为：，令x=4，得到，∴N．
∴kBM-kQB=-==，
其分子=3y1（my2+1-2）-y2（my1+1+2）=2my1y2-3（y1+y2）==0，
∴kBM-kQB=0，即kBM=kQB，
∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．
同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．