Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=，E、F分别是AB、CD的中点
（1）求证：D₁E⊥平面AB₁F；
（2）求直线AB与平面AB₁F所成的角；
（3）求二面角A-B₁F-B的大小．

Answer

（1）根据向量间的运算可得：⊥，⊥，进而根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．
（2）由题意可得：=（0，2，0），并且写出平面AB1F的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．
（3）根据题意分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
【解析】
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建系如图．

其中A（1，0，0），B（1，2，0），A1（1，0，），B1（1，2，），D1（0，0，），
E（1，1，0），F（0，1，0）
（1）=（1，1，-），=（-1，l，0），（0，2，）•=-1+1+0=0，•=0+2-×=0，故⊥，⊥
即D1E⊥AF，D1E⊥ABl，又ABl∩AF=A，得D1E⊥平面AB1F．
（2）=（0，2，0），由（1）知平面AB1F的法向量可为=（1，1，-），
设AB与平面AB1F所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞|=||=，
故AB与平面AB1F所成的角为30°
（3）=（-1，-1，0），=（0，0，），设平面BFB1的法向量为=（x，y，z），
则有-x-y=0，z=0，
令x=1，则可为（1，-l，0），
又平面AB1F的法向量可为=（1，1，-），且•=1-1=0，
故⊥，即平面BFB1⊥平面AB1F 
所以所求二面角大小为90°