Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，{b_n }是公差不为0的等差数列，其中b₂、b₄、b₉依次成等比数列，且a₂=b₂
（1）求数列{a_n }和{b_n}的通项公式：
（2）设c_n=，求数列{c_n）的前n项和T_n．

Answer

（1）由关系式求出an，再由等差数列的通项公式和题意列出方程，求出首项和公差，代入通项公式化简即可；
（2）由（1）求出cn，再根据cn的特点，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和，要认真化简．
【解析】
（1）由题意知，Sn=2n+1-2，
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n                    
当n=1时，a1=S1=4-2=2，也符合上式，
∴an=2n，
即数列{an}是首项为2公比为2的等比数列，
设数列{bn}的首项为b1，公差为d （d≠0），
由b2=a2=4，又b2、b4、b9依次成等比数列得，
（4+2d）2=4（4+7d），解得d=3，b1=1，
∴bn=3n-2．
（2）由（1）得，cn==，
∴Tn=+++…+
2Tn=1++++…
两式相减得Tn=l+3（+++…+）-
=1+3（）-
=1+3（1-）-
=4-．