Question

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时值域为[a₃，b₃]，当x∈[a_n-1，b_n-1]时值域为[a_n，b_n]…其中a、b为常数，a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，b=2，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＞0，设数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求T_n-S_n的值．

Answer

（1）由a=1，b=2，可得f（x）=x+2．函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
可得当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，由a1及b1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
因为当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用数列{bn}的公比为q，b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得即可解得b的值．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，由bn-an=1即可得出Tn-Sn．
②当a≠1时，由，，
可得，，可得，于是Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1．
【解析】
（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
∴当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，
又a1=0，b1=1，
∴an=0+（n-1）×2=2n-2，bn=1+（n-1）×2=2n-1．
即an=2n-2，bn=2n-1．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
设数列{bn}的公比为q，又b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故当b=0时数列{bn}是公比不为1的等比数列．
因此b=0．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
∴当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，
∴Tn-Sn=1+1+…+1=n．
②当a≠1时，由，，
可得，，
∴可得，
∴Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1=．
综上可知：当a=1时，Tn-Sn=n；
当a≠1时，Tn-Sn=．